Ja, die COC brauchst Du für die Anmeldung in Deutschland.

Am spannensten ist aber das Thema "Überführung nach Deutschland".
Kurzzeitkennzeichen sind heikel. (Ausland, Versicherung etc.)
Österreichische (Export-)Kennzeichen sind sackteuer. (Je nach Auto sind hier mehrere hundert Euro fällig, inkl. Versicherung...)

Am einfachsten ist das, wenn das österreichische "Pickerl" (= HU) noch gültig ist und Du das Papier dazu bekommst.
Mit dem gehst Du zur deutschen Zulassungsstelle und lässt das Auto in D einfach zu.
(Versicherungsbestätigung, CoC, Österreichischer Prüfbericht....)

Du bekommst natürlich dann erst mal keine zwei Jahre "Tüv" sondern nur bis zum Ende des Pickels.
(In Ö muss man jedes Jahr zum "TÜV", daher können es nicht mehr als 12 Monate sein...)

Dann fährst Du mit den deutschen Schildern nach Ö, schraubst die dran und fährst los.

Zumindest bei mir hat das so wunderbar geklappt.

PS: Ach ja: Die Nummerschilder in D und Ö sind nicht genau gleich groß. Daher braucht man ggf. einen dt. Kennzeichenhalter. Den solltest Du ggf. auch mitnehmen und anschrauben. Das erspart Dir eine Überraschung ;-)