Hab mir das mal angeschaut...

So wie es aussieht misst du mit den 2.5V den Spannungsabfall an dem Sensor.

Im Video schreibst du dass die schwarze Litze geschaltenes Minus wäre...Das Datenblatt sagt aber dass das ein PNP Schalter ist, der schaltet demnach den Plus, nicht den Minus (wäre sonst ein NPN). Abzüglich des Spannungsabfalls müsstest du an der schwarzen Litze bei einer Eingangspannung von 13V um die 10.5-11V raus bekommen, gemessen nach Masse (blaue Litze).

Schliesse das Teil mal wie folgt an:
-braun an Batterieplus
-blau an Batterieminus
-schwarz an Relais-Spule (+)
-am 2. Kontakt (-) der Relais Spule Batterieminus (gemeinsam mit der blauen Litze)

Damit müsste das Teil ein kleines (!) Relais schalten können. Ein zu grosses Relais könnte zu viel Einschaltstrom haben. Was ich auch empfehlen würde: Über der Spule eine in Sperrichtung geschaltene Diode einbauen damit die Spannungsspitze beim Abschalten der Spule abgebaut wird.

Gruss
Urs