Hallo Knut

ich würde die Batterie mal vollständig aufladen und dann bei einer Werkstatt testen lassen, dann hast du eine Idee vom Zustand der Batterie.

Der Generator ist eigentlich darauf ausgelegt auch bei Leerlaufdrehzahl die notwendige Spannung zu produzieren, zumindest so viel, das der Motor läuft, vorausgesetzt alle Leitungen (Plus & Minus sind iO)
Wenn du einen neuen kauft, nehme einen von einem Markenhersteller wie Bosch, Marelli, Hella oder Valeo nicht so ein Billigangebot aus dem Netz....

Gruß Juergen