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<img src="http://www.viermalvier.de/forum_php/images/graemlins/klugscheiss.gif" alt="" /> Willkommen im Telekolleg Mathematik. Heute: Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks. (Ich musste mich etwas anstrengen und hoffe, dass die Theorie damit für alle Zeit erledigt ist. Ich hab alles so aufgeschrieben, dass man's nachrechnen kann.)
Also: Wann fällt ein (statischer) Körper um?
Antwort: Wenn der Schwerpunkt des Körpers nicht über der Aufstandsfläche liegt.
Beim Landy am Querhang ist das der Fall, sobald das Lot durch den Fahrzeugschwerpunkt talwärts der Reifen den Boden trifft (in der Grafik Kante c).
Der hängende Landy beschreibt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten:
A = Schwerpunkt
B = Rand Aufstandsfläche
C = Spurmitte
und den Seiten:
a = halbe Außenspurweite (bekannt)
b = Schwerpunkthöhe (nicht bekannt)
c = Länge des Schwerpunktlots (nicht bekannt und auch nicht wichtig)
Die zugehörigen Winkel lauten:
alpha = Kippwinkel (nicht bekannt)
beta = 90°-Kippwinkel (weil Innenwinkelsumme Dreieck stets 180°)
gamma = 90°
Für den Kippwinkel alpha bei beliebiger Außenspurweite und Schwerpunkthöhe gilt:
alpha=atan(a/b)
Leider kennen wir b nicht, die Schwerpunkthöhe. Die können wir ausrechnen anhand eines beliebigen bekannten Kippwinkels bei bekannter Außenspurweite. Dort gilt:
b=a*tan(beta)
Bei kolportierten 37° Grad Kippwinkel mit 165 cm serienmäßiger Außenspurweite wäre die Schwerpunkthöhe:
b=(82.5*tan(90°-37°) also 109.481311 cm
Jetzt muss der Kram nur noch in die erste Formel eingesetzt werden. Nur zur Kontrolle errechnen wir den Kippwinkel bei Serienspurweite:
atan(82.5/109.481311)=37°
Passt also. Jetzt der Kippwinkel bei 33 mm Spurverbreiterung pro Rad:
atan(85.8/109.481311)=38.085651°
Die Differenz im Kippwinkel beträgt ziemlich genau 1 Grad - bei einem unbeladenen, ungefederten Fahrzeug auf Betongrund mit gefrorener Luft in den Reifen. In der Praxis mit Dachträger liegt der Schwerpunkt höher und wird entsprechend weiter ausgelenkt, gleichzeitig geben die Reifen und der Boden zusätzlich nach, während sich die gefederte Karosserie und ungesicherte Ladung talwärts bewegen.
Wem die ganze Rechnerei (wie mir) zu abstrakt ist, der kann folgendes Gedankenexperiment machen: Wenn in der Grafik die Kante c ein pendelndes Senklot wäre - um wieviel müsste ich den abgebildeten Landy zusätzlich neigen, damit sich die Lotspitze B um 33 mm über Grund bewegt?
Oder umgekehrt: Wenn ich Punkt B um 33 mm nach außen verschiebe – um welchen Betrag vergrößert sich der Winkel alpha?
Ich habe Spurverbreiterungen nie ausprobiert, aber in einer solchen Fahrsituation wären sie mir vermutlich egal.
Gruß,
Norbert
